Matlab代數(方程求解)

到目前爲止，我們已經看到所有的例子都在MATLAB以及它的GNU，或者稱爲Octave。 但是，爲了求解基本代數方程，MATLAB和Octave都不同，所以這裏將分別介紹MATLAB和Octave。

我們還將討論代數表達式的分解和簡化。

在MATLAB中求解基本代數方程

solve函數用於求解代數方程。 在其最簡單的形式中，solve函數將引用中的方程式作爲參數。

例如，在等式x-5 = 0中求解x，參考以下代碼實現 -

solve('x-178=0')

MATLAB將執行上述語句並返回以下結果 -

Trial>> solve('x-178=0')
ans =

178

也可以這樣調用solve函數 -

Trial>> solve('x-110 = 0')
ans =

110

甚至可以不用包括方程的右側部分 -

Trial>> solve('x-110')
ans =

110

如果方程式涉及多個符號，則默認情況下，MATLAB假定正在求解x，但是，solve函數具有另一種形式 -

solve(equation, variable)

其中，也可以涉及到變量。

例如，要求解v - u - 3t^2 = 0(這裏爲t的平方)，對於v，在這種情況下，應該書寫爲 -

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

ans =
 3*t^2 + u

求解代數中的基本代數方程

roots函數用於求解代數中的代數方程，可以重寫上面的例子如下：

例如，要在等式x-5 = 0中求解x的值 -

roots([1, -5])

執行上面示例代碼，得到以下結果 -

Trial>> roots([1, -5])

ans =

     5

也可以這樣調用roots函數 -

y = roots([1, -5])

執行上面示例代碼，得到以下結果 -

Trial>> y = roots([1, -5])

y =

     5

在MATLAB中求解二次方程

solve函數也可以用來求解高階方程。通常用於求解二次方程。 該函數返回數組中方程的根。

以下示例求解二次方程x^2 -7x +12 = 0(注：x^2表示x的平方)。創建腳本文件並鍵入以下代碼 -

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

執行上面示例代碼，得到以下結果 -

Trial>> eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

The first root is: 
3

The second root is: 
4

在Octave中求解二次方程

以下示例解決Octave中的二次方程x^2-7x +12 = 0。創建腳本文件並鍵入以下代碼 -

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

執行上面示例代碼，得到以下結果 -

Trial>> s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
The first root is: 
     4

The second root is: 
     3

求解MATLAB中的高階方程

solve函數也可以解決高階方程。例如，下面演示求解(x-3)^2(x-7)= 0(注：(x-3)^2表示(x-3)的平方)的三次方程 -

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

ans =
  3
  3
  7

在較高階方程的情況下，根很長，包含很多項。可以通過將這些根的數值轉換爲double來獲得數值。 以下示例解決四階方程x^4 - 7x^3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0(注：x^4表示x的4次方)。

創建腳本文件並鍵入以下代碼 -

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

The first root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 1)

The second root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 2)

The third root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 3)

The fourth root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 4)

Numeric value of first root
    1.0598

Numeric value of second root
    6.6304

Numeric value of third root
  -0.3451 - 1.0778i

Numeric value of fourth root
  -0.3451 + 1.0778i

請注意，最後兩個根是複數。

在Octave中求解高階方程

以下示例示解四階方程：x^4 - 7x3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0。

創建腳本文件並鍵入以下代碼 -

v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

Trial>> v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Numeric value of first root
    6.6304

Numeric value of second root
    1.0598

Numeric value of third root
  -0.3451 + 1.0778i

Numeric value of fourth root
  -0.3451 - 1.0778i

MATLAB中求解方程組

solve函數也可用於生成包含多個變量的方程組的解。下面來看一個簡單的例子來說明這一點。

下面來求解方程式 -

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

創建腳本文件並鍵入以下代碼 -

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
x = s.x
y = s.y

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

x =

22/19


y =

-5/57

同樣，可以示解決更大的線性系統。 考慮以下一組方程式 -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在Octave中求解方程組

還可以使用不同的方法來示解n未知數的n線性方程組。下面來看一個簡單的例子來說明這一點。

假設要示解方程式 -

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

這種線性方程組可以寫成單矩陣方程Ax = b，其中A是係數矩陣，b是包含線性方程右邊的列向量，x是表示解的方法的列向量。如下圖所示 -

創建腳本文件並鍵入以下代碼 -

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

執行上面示例代碼，得到以下結果 -

ans =

   1.157895
  -0.087719

同樣，可以示解下面給出的較大的方程組 -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在MATLAB中擴展和集合方程

expand 和 collect函數分別擴展和集合方程。以下示例演示了這些概念 -

當使用許多符號功能時，應該聲明變量爲符號。

創建腳本文件並鍵入以下代碼 -

syms x %symbolic variable x
syms y %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

執行上面示例代碼，得到以下結果 -

 ans =
 x^2 + 4*x - 45
 ans =
 x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
 ans =
 2*cos(x)*sin(x)
 ans =
 cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
 ans =
 x^4 - 7*x^3
 ans =
 x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

在Octave擴展和集合方程

需要有symbolic包，它提供了expand和collect函數來分別擴展和集合方程。 以下示例演示了這些概念 -

當使用許多符號功能時，應該聲明變量是符號，但是Octave具有不同的方法來定義符號變量。注意使用的是Sin和Cos，它們是定義在symbolic包中的。

創建腳本文件並鍵入以下代碼 -

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

運行文件時，會顯示以下結果 -

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代數表達式的因式分解和簡化

因子函數將表達式分解，簡化函數簡化表達式。 以下示例演示了這一概念 -

示例

創建腳本文件並鍵入以下代碼 -

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
f = factor(y^2*x^2,x)
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

執行上面示例代碼，得到以下結果 -

Trial>> factorization

ans =

[ x - y, x^2 + x*y + y^2]


f =

[ y^2, x, x]


ans =

x^2 + 4